Playground Matematika

Pernahkah Anda memperhatikan sarang lebah? Pada sarang lebah terdapat struktur geometri alam yang unik.  Masing-masing sel sarang yang berbentuk segienam merupakan bentuk ideal, karena saling terhubung tanpa celah dan tidak ada bagian yang bertumpuk.  Dalam matematika, susunan bangun-bangun seperti ini dinamakan pengubinan (tessellation / tiling).  Pengubinan yang hanya menggunakan satu macam bangun dinamakan pengubinan monohedral.  Pengubinan yang menggunakan dua macam bangun dinamakan sebagai pengubinan dihedral.  Pengubinan monohedral yang menggunakan poligon beraturan dinamakan pengubinan beraturan (regular tesselation).    Selain menggunakan poligon beraturan, pengubinan dapat juga dilakukan dengan menggunakan poligon tak beraturan (non regular polygon).  Anda dapat menyelidiki dan mempraktekkan bahwa sebarang segitiga dapat digunakan untuk pengubinan monohedral.  Demikian juga dengan sebarang segiempat.

Membuat pengubinan unik dengan Transformasi

Pada tahun 1936, M.C. Escher mengadakan perjalanan ke Spanyol dan terpesona oleh pola pengubinan di Alhambra.  Alhambra (bahasa Arab: الحمراء = Al-Ħamrā’; berarti “merah”) adalah nama sebuah kompleks istana sekaligus benteng yang megah dari kekhalifahan Bani Ummayyah di Granada, Spanyol bagian selatan.  Escher meluangkan waktu untuk membuat sketsa pengubinan yang digunakan peradaban Islam untuk menghiasi dinding dan langit-langit istana tersebut.  Escher mengungkapkan bahwa pengubinan disana sebagai “the richest source of inspiration”. Selanjutnya Escher mempelajari bagaimana menggunakan translasi, rotasi, dan refleksi geser untuk membuat berbagai pola pengubinan.

1. Pola Pengubinan Menggunakan Translasi

Gambar diatas merupakan langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat pola pengubinan kuda terbang (“Pegasus”) yang berasal dari persegi (oleh Escher) . Untuk pengubinan kuda terbang, siapkan sebuah persegi dan buat kurva ( langkah 1).  Translasikan kurva ini ke sisi atas persegi (langkah 2).  Buat kurva pada sisi sebelah kiri, kemudian translasikan ke sisi sebelah kanan (langkah 3 dan 4).  Berikan ilustrasi seperlunya dan susun pengubinannya.

2. Pola Pengubinan Menggunakan Rotasi Selain menggunakan cara translasi, pola pengubinan dapat dibuat dengan memanfaatkan rotasi.  Pada Gambar  2 diberikan pengubinan “Hantu Tersenyum” beserta dengan proses pembuatannya. Pengubinan “Hantu Tersenyum”, dimulai dari sebuah persegi.  Lukis kurva yang ujung-ujungnya titik-titik sudut yang berdekatan, dan buat bayangan yang merupakan hasil rotasi terhadap salah satu ujungnya dengan sudut rotasi 90^o (Langkah 1 dan 2).  Buat kurva  pada sisi persegi yang lain (langkah 3).  Rotasikan dengan pusat rotasi di salah satu ujung dan sudut rotasi 90^o berlawanan arah dengan arah jarum jam (langkah 4).  Tambahkan ilustrasi seperlunya dan susun  pengubinannya.

3.Pola Pengubinan Menggunakan Refleksi Geser

Pembuatan pola pengubinan dengan refleksi geser dimulai dengan menyiapkan petak-petak jajar genjang seperti pada Gambar 3.  Buat kurva yang ujung-ujungnya pada ujung alas jajargenjang beserta hasil translasinya ke sisi sejajar di atasnya (langkah 1 dan 2).  Refleksikan bayangan kurva ini terhadap garis bagi sisi atas jajargenjang (langkah 3).  Buat kurva di sisi sebelah kanan, kemudian buat bayangan hasil translasinya ke sisi sebelah kiri (langkah 4 dan 5).  Hiasi seperlunya  kemudian susun menjadi suatu pengubinan.

Anda dapat mengembangkan sendiri pola-pola pengubinan unik lain menggunakan transformasi. Masih penasaran? Silahkan datang dan berkunjung ke Unit Mathematics Playground PPPPTK Matematika Yogyakarta.